뫼비우스의 띠 <Mobius strip>



좁고 긴 직사각형 종이를 180°(한 번) 꼬아서 끝을 붙여서 만들면 하나의 면을 가진 곡면이 된다. 이러한 곡면을 뫼비우스의 띠라고 한다. 독일의 수학자 A.F.뫼비우스가 처음으로 제시하였기 때문에 뫼비우스의 띠라고 한다.


아래 [그림 1]의 (1)과 같은 직사각형 띠를 꼬지 않고 점 A와 D, 점 B와 C가 만나도록 변 AB와 DC를 붙여 고리를 만들면 [그림 2]의 (1)과 같이 된다. 또, [그림 1]의 (2)와 같은 띠를 180° 꼬아서 점 A와 C, 점 B와 D가 만나도록 변 AB와 변 CD를 붙이면 [그림 2]의 (2)와 같이 된다. 이
[그림 2]의 (2)의 곡면이 뫼비우스의 띠이다.
  • 뫼비우스 띠의 성질

    1. [그림 2]의 (1)의 띠 바깥쪽에 칠을 하면, 바깥쪽은 전부 칠해지나 안쪽은 칠해지지 않는다. 그러나 뫼비우스의 띠의 바깥쪽에서 칠을 해가면 안쪽도 모두 칠해진다. 즉,
    안쪽과 바깥쪽의 구별이 없다.

    2. 아래 [그림 3]과 같이 180°×n(n번)만큼 꼬아서 만든 띠를 Bn이라 하면, n이 짝수일 때 Bn은 B0([그림 2]의 (1))과 연결상태가 같은 도형이며, n이 홀수일 때 Bn은 B1(뫼비우스 띠)과 연결상태가 같은 도형이다.

    연결상태가 같은 도형이란 ? : 주어진 도형을 자르거나 붙이지 않고, 그 도형 위에 있는 서로 다른 두 점이 중복되지 않도록 늘이거나 줄이거나 구부려서 얻어지는 도형을 처음 도형과 연결상태가 같은 도형이라고 한다. 예를 들어 원·삼각형·다각형은 연결상태가 같은 도형이 된다. 또 구(球)·각기둥·각뿔·정다면체 등도 연결상태가 같은 도형이다.
    3. 위의 [그림 2]의 (1)과 같은 띠를 그 중심선을 따라 자르면 2개의 독립된 띠가 되지만, 아래 [그림 4]의 (1)과 같이 한 번 꼬아 만든 뫼비우스의 띠 B1을 그 중심선을 따라 자르면 네 번 꼬인 하나의 띠 B4가 된다. 또, [그림 4]의 (2)와 같이 뫼비우스의 띠 B1을 그 삼등분선을 따라 자르면, 1개의 뫼비우스의 띠 B1과 네 번 꼬인 띠 B4가 얽혀 있는 상태가 된다.



    한걸음 더

    수학체험전에서의 뫼비우스의 띠 | 뫼비우스의 띠와 에셔(Escher)
    클라인 병 | 면이 하나인 입체도형

■ 참고 : 두산동아백과사전
■ 글편집 : 손인수

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